\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\newcommand{\bvec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}

\section{分析力学}

\begin{figure} [h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.3 \linewidth]{"Untitled 1"}
	\caption{经典力学和分析力学的简要对比}
	\label{fig:untitled-1}
\end{figure}

\footnote{本文是任延宇《分析力学》线上课程的学习笔记。参考：朗道《力学》，Susskind《Classical Mechanics》，刘川 《力学》}
如果说，经典力学是关于“力与运动”，那么分析力学是“能量与运动”。
原则上说，只要能写出系统能量$L$或$H$（见下）的表达式，就能用分析力学描述系统的运动规律并导出各类守恒量等。
一旦接受了这种观点，就会发现分析力学的简明性和可拓展性实则强于经典力学。

以下，我们假设系统的自由度为$s$。

\subsection{Lagrange力学}
Lagrange力学使用了各个自由度的广义坐标$q_i$，广义速度$q'_i$以及Lagrange量$L$
\begin{equation} \label{lg}
	L = L(q_i, q'_i, t) = L(q_1, q_2, ..., q_1', q_2', ..., t) \qquad i=1,2,3,...,s
\end{equation}
由于每一个自由度上都有一个$q_i$与$q_i'$，因此共有$2s$个未知量。系统的动力学规律由 Euler-Lagrange 方程描述
\begin{equation} \label{eq_EL}
	\dv{}{t} \pdv{L}{q'_i} = \pdv{L}{q} \qquad i=1,2,3,...,s
\end{equation}
一共有$s$个这样的方程。
你可能会质疑，方程的数量$s$似乎少于未知量的数量$2s$，
事实上，$q_i' = \dv{q_i}{t}$是另外$s$个心照不宣的方程。

很不幸地，Euler-Lagrange方程没有直接在字面上告诉我们$q_i$与$q_i'$的变化规律。
我们需要代入$L$的具体形式之后才能计算得到。
至于$L$的具体形式，只能说\textsl{It depends}、得具体问题具体分析。写出$L$的合适表达式往往是运用分析力学解决问题的关键。

\subsection{Hamilton力学}
Hamilton力学使用了各个自由度的广义坐标$q_i$，广义动量$p_i$以及Hamilton量$H$
\begin{equation}  \label{H}
	H = H(q_i, p_i, t) = H(q_1, q_2, ..., p_1, p_2, ..., t) \qquad i=1,2,3,...,s
\end{equation}
同样共有$2s$个未知量。系统的动力学规律由 Hamilton 方程描述
\begin{equation} \label{eqH}
	\left \{
	\begin{aligned}
		\dv{q_i}{t} &= \pdv{H}{p_i} \\ 
		\dv{p_i}{t} &= -\pdv{H}{q_i} \\ 
	\end{aligned}
	\right.
	\qquad i=1,2,3,...,s
\end{equation}
一共有$s$组这样的方程组、或者一共$2s$个方程。

\newpage

\section{从分析力学到经典力学}

\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.2  \linewidth]{System}
	\caption{直接选取各个粒子的空间坐标作为广义坐标}
	\label{fig:system}
\end{figure}

乍看之下，Euler-Lagrange方程和Hamilton方程似乎十分陌生。
为增强对分析力学的信心，我们以下简要论述，在经典的粒子系统中，分析力学公式其实\textsl{毫无悬念地}等同于牛顿力学定律。
对于一个具有$N$个粒子的系统，我们直接选取各个粒子的空间坐标作为广义坐标，并假定动能只和粒子速度有关、能量不显含时等；
此外，由于每个粒子在$x,y,z$上各具有一个自由度，因此系统的总自由度应该为$s=3N$ ，并具有$2s=6N$个未知量，即各个粒子在$x,y,z$上的坐标和速度。

\subsection{Lagrange力学}
一个经典的多粒子系统的Lagrange 量 (\formula{lg}) 一般可写为
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		L = T - V 
		= \sum_i 1/2 m_i (v_{x_i}^2+v_{y_i}^2+v_{z_i}^2) - V(x_i, y_i, z_i) 
		\qquad i=1,2,3,...,N\\
	\end{aligned}
\end{equation}
其中$T$是系统动能，$V$是系统势能，$x_i$第$i$个粒子的$x$坐标，$v_{xi}$代表第$i$个粒子$x$方向上的速度等。
对于第$i$个粒子，其对应 $3$个Euler-Lagrange 方程( \formula{eq_EL}):
\begin{equation}
	\text{左侧:}~
	\begin{cases}
		\dv{}{t} \pdv{L}{v_{xi}} &= \dv{}{t}~ (m v_{x_i}) =m_i \dv{v_{x_i}}{t}  \\
		\dv{}{t} \pdv{L}{v_{yi}} &= m_i \dv{v_{y_i}}{t} \\
		\dv{}{t} \pdv{L}{v_{zi}} &= m_i \dv{v_{z_i}}{t} \\
	\end{cases}
	\qquad
	\text{右侧:}~
	\begin{cases}
		\pdv{L}{x_i} &= -\pdv{V}{x_i} = F_{xi} \\
		\pdv{L}{y_i} &= F_{yi} \\
		\pdv{L}{z_i} &= F_{zi} \\
	\end{cases}
\end{equation}
左右两侧分别相等，得到：
\begin{equation}
	\begin{cases}
		m_i  \dv{v_{x_i}}{t} &=  F_{xi} \\
		m_i  \dv{v_{y_i}}{t} &=  F_{yi}  \\
		m_i  \dv{v_{z_i}}{t} &=  F_{zi} \\
	\end{cases}
	\Rightarrow
	m_i \dv{\bvec v_i}{t} = \bvec F_i
\end{equation}
这相当于牛顿第二定律。

\subsection{Hamilton 力学}
一个经典的多粒子系统的系统的Hamilton 量 (\formula{H}) 一般可写为
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		H = T+V 
		=  \sum_i \frac{1}{2m_i} (p_{x_i}^2+p_{y_i}^2+p_{z_i}^2) + V(x_i, y_i, z_i) 
		\qquad i=1,2,3,...,N\\
	\end{aligned}
\end{equation}
对于第$i$个粒子，其对应 $6$个Hamilton 方程( \formula{eqH}):
$$
\begin{cases}
	\dv{x_i}{t} &= \pdv{H}{p_{xi}} = \frac{p_{xi}}{m_i} \\
	\dv{y_i}{t} &= \frac{p_{yi}}{m_i} \\
	\dv{z_i}{t} &= \frac{p_{zi}}{m_i} \\
	\dv{p_{xi}}{t} &= - \pdv{H}{x_i} = - \pdv{V}{x_i} = F_{xi} \\
	\dv{p_{yi}}{t} &= F_{yi} \\
	\dv{p_{zi}}{t} &= F_{zi} \\
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
	\bvec p_i &= m_i \dv{\bvec r}{t}\\
	\dv{\bvec p_i}{t} &= \bvec F_i \\
\end{cases}
$$
第一个式子是动量的定义(或者说，坐标变化与动量的关系)，而第二个式子是牛顿第二定律。

以上论述并不是严格的证明--因为我们直接给出了经典粒子系统的$L$和$H$。
尽管Landau的著作花费了大量篇幅论证如此构造$L$和$H$的原因（在隔壁笔记中我们会发现，如此构造的$L$和$H$具有良好的对称性并能得到有趣的守恒量），
但这似乎并不足以充当构造$L$和$H$的“充分条件”，充其量是“必要条件”。
某种意义上，我们是为了凑出经典力学公式才如此构造$L$和$H$！

\newpage

\section{相空间}

\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.5 \linewidth]{PhaseSpace2}
	\caption
	{
		经典粒子系统在实空间与相空间中的状态及演化示意图：
		a. 实空间视角：我们在不同时刻“看到的”系统；
		b. 相空间视角：系统的一种状态可由相空间中的一个点描述；系统的变化过程满足Hamilton方程。
	}
	\label{fig:1}
\end{figure}

我们已经知道，系统的状态可由广义坐标与广义动量$(q_1, q_2,..., p_1, p_2, ...)$共$2s$个量确定，
其中$s$是系统的自由度。那么我们就想寻找一种方法，同时表现这$2s$个量，即表述系统的状态。

一种可行的方法是使用一个\textbf{$2s$维的相空间 (不是$2$维！)}：
在这样一个相空间中，一点具有$2s$个分量$(q_1, q_2,..., p_1, p_2, ...)$，每一个分量分别代表系统某个自由度上的广义坐标或广义动量。
因此，\textbf{系统的一种状态可由相空间中的一个点描述}。
\textsl{由于相空间的维度如此之高，相空间中一点的信息量必然很大！}

进一步而言，如果系统从一个状态变化到另一个状态，
那么在相空间中，该过程各个时刻系统状态所对应的点会连成一条曲线，并且这一条曲线应满足Hamilton方程---
这没什么奇怪的，因为Hamilton方程本身就描述了系统的动力学规律。

尽管相空间的概念非常抽象，但相空间的性质使其非常适合用于统计系统的状态，
因此从统计力学、系综理论（基于相空间计数来确定系统的状态数）到量子力学（比如Sommerfeld金属电子模型），相空间的概念无处不在。

\newpage

\section{对称性与守恒律初步}

\subsection{Noether 定理简介}
\footnote{本节取自隔壁量子力学笔记。}
分析力学浅显地告诉了我们一些对称性与守恒律的故事，
以下我们以广义动量为例子。

\textbf{守恒}：
如果我们说“某一广义动量$p_i$是守恒的”，那么我们的意思是 “这一广义动量$p_i$不随时间变动”。
\begin{equation}
	\text{$p_i$守恒} \Leftrightarrow \dv{p_i}{t} = 0
\end{equation}

\textbf{对称性}：
如果我们说“系统在某一广义坐标$q_i$上具有平移对称性”，
那么我们的意思是 “当系统在$q_i$方向上‘平移’过一定距离后，$H$仍相同”；
或者说，“当$q_i$轻微变化，$H$仍相同”；
更直截了当的 ，“$H$不显含某一广义坐标$q_i$”，
\begin{equation}
	\text{系统在$q_i$上具有平移对称性}
	\Leftrightarrow H(...,q_i,...) = H(...,q_i + \dd q_i,...)
	\Leftrightarrow \pdv{H}{q_i}= 0
\end{equation}

\textbf{对称与守恒的联系：}
Hamilton方程直接联系了以上二方面，解释了对称与守恒内在的深刻联系：
\begin{equation}
	\text{系统在$q_i$上具有平移对称性}
	\Rightarrow
	\pdv{H}{q_i}= 0
	\Rightarrow
	\dv{p_i}{t} = 0
	\Rightarrow
	\text{$p_i$守恒} 
\end{equation}
由此，平移对称性意味着广义动量守恒。所谓“对称导致守恒”。

我们也可以使用Lagrange力学的语言重复这一过程：
\begin{equation}
	\text{系统在$q_i$上具有平移对称性}
	\Rightarrow 
	\pdv{L}{q_i} = 0
	\Rightarrow
	\dv{}{t} \pdv{L}{q'_i} = \pdv{L}{q_i} = 0
	\Rightarrow 
	p_i = \pdv{L}{q'_i} \text{守恒}
\end{equation}

\subsection{Ehrenfest定理}
对于系统的任一状态量$F$，由于系统的状态可被广义坐标与广义动量确定，
因此$F$总能被写为关于$q_1, q_2,..., p_1, p_2, ..., t$的函数
\begin{equation}
	F = F (q_1, q_2,..., p_1, p_2, ..., t)
\end{equation}
那么$F$关于时间的变化是
\begin{equation}
	\dv{F}{t}  = \sum_i \pdv{F}{q_i} \dv{q_i}{t} +  \sum_i \pdv{F}{p_i} \dv{p_i}{t} + \pdv{F}{t} 
\end{equation}
代入Hamilton方程 \formula{eqH}，得到
\begin{equation}
	\dv{F}{t}  = \sum_i  \pdv{F}{q_i} \pdv{H}{p_i} -  \sum_i \pdv{F}{p_i} \pdv{H}{q_i} + \pdv{F}{t} 
\end{equation}
如果定义Poisson括号
\begin{equation}
	[A, B] = \sum_i  \pdv{A}{q_i} \pdv{B}{p_i} -  \sum_i \pdv{A}{p_i} \pdv{B}{q_i}
\end{equation}
那么
\begin{equation}
	\dv{F}{t}  = [F, H]+ \pdv{F}{t} 
\end{equation}
也就是说，状态量$F$守恒与否，取决于$F$以及$H$的形式。
这让我们想到量子力学中的Ehrenfest定理。

\subsection{Hamilton量的守恒律}
比较有意思的是，对系统的Hamilton量运用Ehrenfest定理后，我们发现
\begin{equation}
	\dv{H}{t}  = [H, H]+ \pdv{H}{t}  = \pdv{H}{t} 
\end{equation}
容易看出其中始终有$[H,H]=0$。
也就是说，只要$H$不显含时$ \pdv{H}{t} =0$，那么$H$就是守恒的。
这就是分析力学中的Hamilton量守恒定律，类似于牛顿力学中的能量守恒。
不大严谨地说，这意味着系统的Hamilton量不会增加或减少，而只会在各个自由度上重新分配。


\begin{figure}[h]
	\centering
	\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
		% 绘制坐标轴
		\draw[->] (-0.5,0) -- (4.5,0) node[right] {$p$};
		\draw[->] (0,-0.5) -- (0,4.5) node[above] {$q$};
		
		% 绘制圆
		\draw (2,2) circle (1.5);
		
		% 在圆弧上选择一个点（这里选择角度为45度的点）
		\coordinate (point) at ({2+1.5*cos(45)},{2+1.5*sin(45)});
		
		% 绘制切线（使用quiver箭头）
		\draw[->,thick,blue] (point) -- ++({-1.5*sin(45)},{1.5*cos(45)}) node[above right] {$(dp,dq)$};
		
		% 标记圆心
		% \fill (2,2) circle (1pt);
		
		% 标记圆弧上的点
		\fill (point) circle (1pt);
	\end{tikzpicture}
	\caption{$AI$示意图：$H$守恒导致的“等高线”}
\end{figure}

我们还可以反其道而行之，从Hamiltonian守恒论证Hamilton方程形式的必要性，尽管这没有引入“新的物理”：
假设系统的Hamiltonian $H$守恒，即$H$不显含时，这意味着
$$
	H(p,q)=E
$$
即在$H$守恒的前提下，系统仅能处于满足$H(p,q)=E$的状态$(p,q)$，否则系统不能运动到这样的状态。
因此，系统的坐标和动量变化应满足：
$$
H(p+\dd p, q+\dd q) = E
$$
即
$$
\pdv{H}{p} \dd p + \pdv{H}{q} \dd q = 0
$$
我们发现，$H$守恒意味着$p,q$的变动必须协调统一，而Hamilton方程刚好满足这个条件。
这直观地揭示了Hamiton方程结构的内涵（自发使$H$守恒），
以及为什么Hamilton方程中关于动量和坐标的方程相差一个负号。
正如AI所说，“系统在相空间中的运动，必须始终保持在能量为常数的‘等高线’上，而Hamilton方程描述的正是沿着这条等高线前进的方向。” 

\newpage

\section{从Lagrange力学到Hamilto力学}
\footnote{本节使用AI辅助完成}
雾理人喜欢玩的另一个小游戏是，从Lagrange力学推导Hamilton力学。

\subsection{预备知识}
若定义广义动量$p_i$
\begin{equation}
	p_i = \pdv{L}{q'_i}
\end{equation}
那么Euler-Lagrange方程意味着：
\begin{equation} 
	\dv{}{t} \pdv{L}{q'_i} = \pdv{L}{q_i} \Rightarrow \dv{}{t} p_i = \pdv{L}{q_i} 
\end{equation}
也就是说，我们得到了两个重要的关系：
\begin{equation}
	\pdv{L}{q_i} = p'_i \qquad \pdv{L}{q'_i} = p_i
\end{equation}

\subsection{让我们开始吧}
在上文中我们已经知道，Lagrange量是关于各个广义坐标及其速度的：
\begin{equation} 
	L = L(q_i, q'_i) = L(q_1, q_2, ..., q_1', q_2', ...)
\end{equation}
（为了简明，我们此处假设$L$不显含时）
那么，$L$的全微分是
\begin{equation}
	\dd L = \sum_i{\pdv{L}{q_i} \delta q_i} + \sum_i{\pdv{L}{q'_i} \delta q'_i} 
\end{equation}
凑一步全微分
\footnote
{
	我们知道
	$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$
	因此 $u' \cdot v = (u \cdot v)'-u \cdot v'$
}
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		\dd L & = \sum_i{\pdv{L}{q_i} \delta q_i} + \sum_i{\pdv{L}{q'_i} \delta q'_i}  \\
		&= \sum_i{p'_i \delta q_i} + \sum_i{p_i \delta q'_i} \\
		&= \sum_i{p'_i \delta q_i} + \delta (\sum_i{p_i q'_i} )- \sum_i{q'_i \delta p_i } \qquad \text{凑全微分}\\
	\end{aligned}
\end{equation}
移项并整理：
\begin{equation}
	\dd (\sum_i{p_i q'_i}-L) = -\sum_i{p'_i \delta q_i} + \sum_i{q'_i \delta p_i } 
\end{equation}
定义Hamilton量$H$：
\begin{equation} \label{eq:hamilton_def1}
	H = \sum_i{p_i q'_i} -L
\end{equation}
那么，
\begin{equation}
	\dd H = -\sum_i{p'_i \delta q_i} + \sum_i{q'_i \delta p_i } 
\end{equation}
转换为偏导形式，
\begin{equation}
	\left \{
	\begin{aligned}
		q'_i=\dv{q_i}{t} &= \pdv{H}{p_i} \\ 
		p'_i=\dv{p_i}{t} &= -\pdv{H}{q_i} \\ 
	\end{aligned}
	\right.
	\qquad i=1,2,3,...,s
\end{equation}
这就是我们先前讨论的 Hamilton 力学。

尽管\formula{eq:hamilton_def1}中我们使用了广义速度$q'$定义Hamilton量，
但Hamilton量应是关于广义坐标与广义动量的$H=H(q_1,q_2,...,p_1,p_2,...)$，
因此这里需要进行一步代换：将$H$中的所有广义速度用广义坐标和/或广义动量表述。

既然上述广义动量$p$似乎要从$\pdv{L}{q'}$导出，那是否意味着需要先构建Lagrange力学，再构建Hamilton力学？
答案是，\textsl{取决于情况}。如果我们已知$q,q'$以及$L$量，那我们需要通过上述手段导出$p$与$H$以构造Hamilton力学；
但如果我们想/能一步到位地构造Hamilton力学，那么$q,p$就是Hamilton力学中基本的独立变量，无关$q,q'$或$L$的选取。

\end{document}
